Calcul matriciel

Termes et définitions

On appelle matrice un système d'éléments a_ij, qui sont disposés selon un schéma rectangulaire bidimensionnel. Le schéma de m-lignes et n-colonnes est appelé une matrice (m, n) ou une matrice m x n. La position d'un élément dans la matrice est caractérisée par deux indices. Le premier indice est le numéro de la ligne et le deuxième indice est le numéro de la colonne. La numérotation commence en haut à gauche de la matrice et va de gauche à droite et de haut en bas. Si pour une matrice, n = m, alors la matrice est appelée une matrice carrée.

$A = (a_{i j}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

Diagonale principale

Les éléments de la matrice pour les indices i = j sont les éléments de la diagonale principale. Les éléments de la partie inférieure gauche à la partie supérieure droite sont appelés diagonale secondaire.

Ici, les principaux éléments diagonaux sont représentés en rouge:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

et les éléments diagonaux secondaires en couleur verte:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m-1} & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m-1} & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m-1} & a_{n m} \end{matrix})$

Matrice des unités

La matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0 significa matriz unitaria E.

$E = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})$

Matrice transposée

La matrice reflétée sur la diagonale principale est appelée la matrice transposée. Pour une matrice A = (a_ji), la matrice transposée A^T = (a_ji). Le transposé d'une matrice transposée est la matrice elle-même A = (A^T)^T.

$A^{T} = {(a_{i j})}^{T} = {(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ \\ a_{1 m} & a_{2 m} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

Déterminant

On peut attribuer à chaque matrice carrée un nombre unique, appelé le déterminant (det(A)) de la matrice. En général, le déterminant d'une matrice NxN est défini par la formule de Leibniz:

$det A = \sum_{σ \in S_{n}}^{} (sgn (σ) Π_{i = 1}^{n} A_{i ρ (i)})$

ici la somme doit être étendue sur toutes les permutations &sigma ;. Ainsi, à partir des éléments de A, tous les produits possibles sont formés pour chaque élément n de telle sorte que chacun des produits de chaque ligne et de chaque colonne contienne exactement un élément. Ces produits sont additionnés et la somme est le déterminant de A. Le signe des sommets est positif pour les permutations paires et négatif pour les permutations impaires.

Matrice inverse

La matrice inverse A^-1 est définie par l'équation suivante

$A \cdot A^{-1} = E$

Les matrices pour lesquelles il existe un inverse sont appelées matrices régulières. Les matrices qui n'ont pas d'inverse sont appelées matrices singulières.

Pour la matrice inverse, les règles de calcul suivantes sont valables:

${(A \cdot B)}^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$

${(A^{-1})}^{-1} = A$

Le calcul de la matrice inverse A^-1 se fait soit par l'algorithme de Gauss-Jordan, soit avec les adjuvants. La méthode de Gauss-Jordan transforme la matrice (A | E) sous la forme (E | A^-1) à partir de laquelle l'inverse peut être lu directement. Avec les adjuvants et le déterminant, l'inverse peut être calculé directement comme suit

$A^{-1} = \frac{1}{\det (A)} {adj(A)}^{T}$

Clases de matrices

Une matrice carrée A est appelée une matrice symétrique si et seulement si A^T = A et une matrice antisymétrique s'applique si A^T = A. Une matrice orthogonale si et seulement si A^T = A^-1

Matrice d'adjuvants

L'adjonction de la matrice A est calculée de manière à ce que pour chaque élément de la matrice a_ij soit défini un sous-déterminant en supprimant la ligne i et la colonne j. La valeur de ce déterminat est multipliée par (-1)^i+j qui donne l'élément i,j de la matrice adjointe.

Règles de calcul pour les matrices

La multiplication de la matrice est associative:

$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$

La multiplication de la matrice et l'addition de la matrice sont distributives:

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

Pour l'addition et la multiplication par des nombres réels λ, μ:

$(λ + μ) \cdot A = λ \cdot A + μ \cdot A$

et:

$λ \cdot (A + B) = λ \cdot A + λ \cdot B$

Il existe des matrices à diviseur nul A ≠ 0 et B ≠ 0 s'applique à

$A \cdot B = 0$

Pour les matrices carrées, c'est:

$\det (A + B) = \det (A) + \det (B)$

Sommation de la matrice

L'addition de deux matrices A et B se fait en additionnant les éléments des matrices. C = A + B avec c_{i, j} = a_{i, j} + b _{i, j}

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 m} + b_{1 m} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 m} + b_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} + b_{n 1} & a_{n 2} + b_{n 2} & \dots & a_{n m} + b_{n m} \end{matrix})$

Calculatrice pour l'addition de deux matrices:

+

=

Une calculatrice générale pour la somme de matrices NxM se trouve ici: Addition soustraction MxN matrices

Matrices Soustraction

La soustraction de deux matrices A et B se fait en soustrayant les éléments des matrices. C = A - B avec c_i,j= a_i,j - b_i,j

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \dots & a_{1 m} - b_{1 m} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \dots & a_{2 m} - b_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} - b_{n 1} & a_{n 2} - b_{n 2} & \dots & a_{n m} - b_{n m} \end{matrix})$

Calculatrice pour la soustraction de deux matrices:

-

=

Une calculatrice générale pour la soustraction des matrices NxM est ici: Addition soustraction MxN matrices

Multiplication matricielle par un scalaire

La multiplication d'une matrice par un scalaire consiste à multiplier chaque élément par les éléments scalaires de la matrice. a * B = a * b_i,j

$λ \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ \cdot a_{11} & λ \cdot a_{12} & \dots & λ \cdot a_{1 m} \\ λ \cdot a_{21} & λ \cdot a_{22} & \dots & λ \cdot a_{2 m} \\ ⋮ \\ λ \cdot a_{n 1} & λ \cdot a_{n 2} & \dots & λ \cdot a_{n m} \end{matrix})$

Multiplication matricielle

La multiplication de deux matrices A et B nécessite que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde. Le produit obtenu en multipliant les éléments des lignes et des colonnes est additionné. Pour le premier élément de la matrice de résultat, les éléments de la première ligne de la première matrice sont multipliés par les éléments de la première colonne de la seconde matrice et additionnés. Pour les autres éléments, il en va de même pour les autres lignes et colonnes.

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 j} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 j} \\ ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m j} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k j}) \\ \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k j}) \\ ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k j}) \end{matrix})$

Une calculatrice générale pour la multiplication de matrices NxM est ici: Multiplication matricielle

Règle de Sarrus

Le déterminant d'une matrice carrée 3x3 est calculé selon la règle de Sarrus en soustrayant la somme des produits de la diagonale principale de la somme des produits de la diagonale secondaire.

Un solveur de déterminant général est ici: Déterminant NxN

Calcul de l'inverse par Gauss-Jordan

Recherchée est la matrice inverse A^-1 de la matrice A. Pour cela, on forme d'abord avec la matrice identité, la matrice E (A | E). Par des transformations appropriées, nous avons réussi à former la matrice (E | A^-1). Dans ce qui suit, les étapes d'un exemple peuvent être réalisées.

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 N} \\ ⋮ \\ a_{N 1} & a_{N 2} & \dots & a_{N N} \end{matrix})$

Approche Gauss-Jordan

$(A | E) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 N} \\ ⋮ \\ a_{N 1} & a_{N 2} & \dots & a_{N N} \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})$

Transformations pour obtenir la forme suivante.

$(E | A^{-1}) =$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 N} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 N} \\ ⋮ \\ b_{N 1} & b_{N 2} & \dots & b_{N N} \end{matrix})$

Calculateur de la matrice inverse: Matrice inverse-NxN

Calcul de la matrice adjugée

L'adjonction de la matrice A est calculée de manière à ce que pour chaque élément de la matrice a_ij soit fixé un sous-déterminant en supprimant la ligne i et la colonne j. La valeur de ce déterminat est multipliée par (-1)^i+j ce qui donne l'élément i,j de la matrice adjointe.

$a_{i j}^{*} = {(- 1)}^{(i + j)} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Le résultat est la matrice adjugée.

$adj(A)= (\begin{matrix} a_{11}^{*} & a_{12}^{*} & \dots & a_{1 n}^{*} \\ a_{21}^{*} & a_{22}^{*} & \dots & a_{2 n}^{*} \\ ⋮ \\ a_{n 1}^{*} & a_{n 1}^{*} & \dots & a_{n n}^{*} \end{matrix})$

Calculateur pour la matrice adjugée: Adjugé Matrice-NxN

Multiplication d'un vecteur avec une matrice

Le produit d'une matrice par un vecteur est une image linéaire. La multiplication est expliquée si le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre d'éléments du vecteur. Le résultat est un vecteur dont le nombre de composantes est égal au nombre de lignes de la matrice. Cela signifie qu'une matrice à 2 lignes fait toujours correspondre un vecteur à un vecteur à deux composantes.

$A \cdot \vec{v} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} v_{1} + a_{12} v_{2} + \dots + a_{1 m} v_{m} \\ a_{21} v_{1} + a_{22} v_{2} + \dots + a_{2 m} v_{m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} v_{1} + a_{n 2} v_{2} + \dots + a_{n m} v_{m} \end{matrix})$

Calculatrice pour le produit matrice-vecteur: Matrice vecteur produit

Calcul des valeurs propres

L'équation

$A v = λ v$

peut être transformé en un système d'équations homogènes

$(A - λ E) v = 0$

Le système d'équations a une solution non triviale si et seulement si le déterminant disparaît. Que le cas échéant

$\det (A - λ E) = 0$

Le polynôme est appelé le polynôme caractéristique de A et l'équation est l'équation caractéristique de A. Si λ_i est une valeur propre de A alors les solutions de l'équation caractéristique sont les vecteurs propres de A à la valeur propre λ_i.

Calculateur de valeurs propres: Eigenvalues